數學是什么,數學的定義和本質是什么?

 生活雜談     |      2020-02-17 23:12
  一
  一百多年前,一位叫恩格斯的德國人給數學下了一個定義:
  數學是研究客觀世界的數量關系和空間形式的科學。
  我相信這個德國人在中國的知名度遠遠超過他在母國的知名度。
  導師嘛!
  言歸正傳,我們今天談的是數學,那么恩格斯的數學水平究竟如何呢,如何評價他給出的這個數學的定義呢?
  二
  從傳記資料來看,恩格斯是自學過微積分的,但沒有資料表明他學得有多深入。從他對微積分的理解來看,他還是非常糾結微分,無窮小量等的矛盾和邏輯問題,甚至想從辯證法的角度來解讀這些東西。很明顯,他沒有接觸他那個時代正在轟轟烈烈開展的分析嚴格化運動,尤其是實數和極限理論。也就是說,他對微積分的理解還停留在牛頓,萊布尼茨時代。所以他只能算是一個比較高級的數學愛好者!
  我們再來看看,恩格斯關于數學的定義:
  數學是研究客觀世界的數量關系和空間形式的科學。
  不可否認,這個定義確實很精練,概括了數學的數與形兩個方面。不過在恩格斯的時代,集合論,群論,Galois理論,各種結合代數理論等數學理論早已遠遠突破了數與形的狹小范圍。恩格斯作為一位高級的數學愛好者,不太可能指望他接觸這些當時比較前沿的數學理論。
  也就是說,這個關于數學的定義,其實在恩格斯那個時代,就已經過時了!
  三,
  今天,經過一百多年的發展,中間歷經多次革命,運動和里程碑的突破發展,數學整門學科早已滄海桑田。即使是現在的中學數學教育的內容,也已經突破了數與形的狹小范圍。
  令人覺得不可思議的是,到了今天,在國內,恩格斯的這個關于數學的定義還在被非常正式地使用。
  比如高中新課標,第一句話就是
  數學是研究空間形式和數量關系的科學
  這是要拿這個完全過時的定義來開宗明義嗎?
  四,
  有人可能會說,既然這個定義過時了,那你能否給出一個更好的定義。
  這其實涉及到另一個問題:
  數學的本質是什么?
  要想給出一個關于數學的好的定義,一定要觸及到數學的本質。
  有人認為,數學是一套人為規定的語言、符號系統;
  有人認為,數學是關于推理的學科。
  但我認為這些觀點,都只能部分地觸及數學的本質,就和盲人摸象一樣。
  還有一些人試圖給出一個包羅萬象的定義,比如:
  數學是研究數量、結構、變化、空間以及信息等概念的一門學科
  給出這樣一個定義并非難事,卻模糊了數學的本質。
  我主張不必要給數學以任何定義。數學可以是直覺,可以是直觀,可以是游戲,也可以是嚴密的邏輯推理,甚至還可以是美學的展示,是思維意境的升華.............
  數學家康托爾曾經說過:
  數學的本質在于它的自由!
  我本人非常鐘愛康托爾的這個關于數學本質的論述。我相信無論從多少個角度,都無法窮盡數學的本質,這也正是數學的魅力所在。
  至于那些宣稱已經掌握數學本質的人(我這段時間見識過幾個這樣的人,其中有的還是數學教授),無一例外都是井底之蛙!